Intelligences Journal revue en intelligence économique
[English version]

Structuration prétopologique d’un ensemble à partir d’une famille de graphe

Cynthia Basileu, Nadia Kabachi et Michel Lamure

Résumé

Le présent papier propose un modèle mathématique pour l’analyse de la structure « topologique » induite sur un ensemble fini, non pas par une relation, mais par une famille finie de relations.
En effet, la donnée d’une famille de relations réflexives définies sur un ensemble E, permet de construire des structures prétopologiques à partir desquelles les indicateurs de structure usuels de la théorie des graphes peuvent être généralisés : degré, diamètre, centralité, etc.
Cette généralisation est double puisqu’elle propose les mêmes indicateurs dans le cadre plus général de la prét opologie et qu’elle permet de les calculer, non seulement sur les singletons (les sommets des graphes associés aux relations) mais, pour certains, sur des sous-ensembles de E, soit des ensembles de sommets en termes de graphe.
Pour cela, dans une première partie, les notions de base de la prétopologie seront introduites. Puis le lien entre prétopologie et théorie des graphes ser a établi et des procédés de construction d’une structure prétopologique seront développés.
Dans une seconde partie, les indicateurs de structure seront définis et le lien sera établi avec les indicateurs habituels de la théorie des graphes.
Dans la troisième partie, des simulations à partir de familles de graphes illustreront les résultats mathématiques proposés dans les deux parties précédentes.
Pour finir, des domaines d’applications seront examinés et les perspectives de développements futurs proposés.

Mots-clés

théorie des graphes, prétopologie, indicateurs de structure, systèmes complexes, réseaux sociaux, systèmes multi-agents

Texte intégral

Introduction

L’étude des travaux consacrés à la modélisation des systèmes complexes, en particulier celle des réseaux complexes, fait apparaître une très forte utilisation de la théorie des graphes. Ceci n’a rien d’étonnant dans la mesure où, dans le cadre des systèmes complexes, il convient d’apporter une très grande importance à l’analyse des relations entre leurs composants. A l’origine de cette implication de la théorie des graphes dans le domaine, on trouve les travaux de ([1], [2], [3], [10], [13], [14], [15], [16], [17]) qui ont joué un rôle fondateur.

Les papiers publiés ont comme caractéristique commune de considérer, sauf exceptions, un ensemble d’agents fini E, muni d’une relation binaire qui amène à un graphe non orienté. A partir de là, l’ensemble E est considéré comme structuré et une analyse « topologique », au sens de l’étude de la topologie du réseau ainsi obtenu sur E, est menée via la définition d’un certain nombre d’indicateurs propres à la théorie des graphes : diamètre, degré d’un sommet, centralité, assortativité, plus court chemin, densité locale, etc.

Cependant, on peut se poser la question de savoir si la donnée d’une relation binaire non orientée peut suffire à rendre compte de la complexité des relations qui s’établissent entre des agents dans le monde réel. A notre avis non, et pour au moins deux raisons. La première est que les relations entre individus dans la vraie vie sont dynamiques et évoluent donc en fonction de l’environnement dans lequel ils sont plongés. Mais cela n’est pas un réel problème et la théorie des réseaux complexes a répondu à cette objection en proposant d’utiliser le concept de graphe aléatoire. De nombreuses applications dans le domaine des sciences humaines et sociales ont utilisé ce concept, notamment en santé quand il s’agit de modéliser la diffusion d’épidémie dans une société ou encore dans le domaine de l’environnement - lutte contre la pollution atmosphérique ([4], [6], [12]).

La seconde raison n’est pas traitée et fait l’objet du travail présenté dans ce papier : il s’agit de considérer que, d’une part, on utilise non pas une seule relation, mais une famille finie de relations et, d’autre part que celles-ci sont orientées. De cette manière, nous prétendons être plus près d’une réalité dans laquelle les agents, ou individus, sont reliés de différentes façons (une façon = une relation) et dans laquelle les relations qui les lient ne sont pas forcément symétriques, donc doivent être traduites par des relations orientées. Sur le plan mathématique, il faut donc considérer que l’ensemble E des agents est muni d’une famille (Ri)i =1,.., p de relations binaires pour lesquelles nous ferons la seule hypothèse qu’elles soient réflexives, ce qui ne nuit pas à la généralité de notre propos. Le problème est donc de déterminer un moyen pour procéder à l’analyse « topologique » de E, structuré par cette famille. Pour cela, nous utilisons la prétopologie qui permet d’associer une structure « prétopologique » à une famille de relations binaires réflexives définie sur E et nous généralisons, grâce aux concepts et résultats de la prétopologie, les indicateurs de la théorie des graphes utilisés habituellement.

Dans le paragraphe 2, nous présentons donc les concepts prétopologiques nécessaires à la bonne compréhension de ce travail, deux manières d’associer à la famille de relations une structure prétopologique et en donnons les propriétés de base. Le lecteur intéressé par la prétopologie pourra consulter [5], [7], [8], [9], [11] pour avoir de plus amples informations.

Dans le paragraphe 3, nous généralisons les indicateurs habituels au cas prétopologique et présentons quelques exemples simples.

Dans le paragraphe 4, nous concluons en présentant les possibilités d’application en simulation grâce au couplage entre l’approche prétopologique et les modèles multi-agents.

Graphes et prétopologie

Structures prétopologiques

Considérons un ensemble E, une structure prétopologique sur E est définie par la donnée de deux fonctions a et i, respectivement appelées fonction adhérence et fonction intérieur, qui satisfont aux propriétés suivantes.

Définition 2.1.1

La fonction adhérence a vérifie :

Image1

La fonction intérieur vérifie :

Image2

le triplet (E,i(.),a(.)) est alors appelé espace prétopologique.

Le plus souvent, a(.) et i(.) sont définies en dualité par passage au complémentaire, c’est à dire que, si Ac désigne le complémentaire de toute partie A de E dans E,

on pose

Image3

Dans le cadre de ce travail, nous considérons deux types d’espaces prétopologiques particulier, les espaces de type V et les espaces de type VD.

Définition 2.1.2

Etant donnée un espace prétopologique (E,i(.),a(.)),

si la fonction adhérence a vérifie en plus de (i) et (ii) la propriété

Image4

 (E,i(.),a(.)) est dit de type V.

si la fonction adhérence a vérifie en plus de (i) et (ii) la propriété

Image5

 (E,i(.),a(.)) est dit de type VD.

De manière évidente, on peut affirmer :

Proposition 2.1.3

Si un espace prétopologiques (E,i(.),a(.)) est de type VD, il est de type V.

Remarque : la dénomination type V ou type VD vient de l’intérêt, dans ce type d’espace, du concept de voisinage. Ce dernier se définit comme en topologie :

Définition 2.1.4

(E,i(.),a(.)) étant un espace de type V, un sous-ensemble V de E est un voisinage de x, élément de E si et seulement si

Image6

Si V(x) désigne la famille des voisinages de x, c’est à dire

Image7,

on démontre que (cf. [5]) :

Proposition 2.1.5

(E,i(.),a(.)) étant de type V (ou VD), on obtient :

Image8

Ce dernier résultat nous sera très utile par la suite pour construire une structure prétopologique à partir d’une famille de relations binaires définies sur E.

Prétopologies associées à une famille de relations binaires

A partir de maintenant, nous considérons une famille (Ri)i =1,.., p

de relations binaires définies sur E. Posons :

Image9

l’ensemble des successeurs de x pour la relation Ri.

Posons:
Image10

alors :

Proposition 2.2.1

as(.) et is(.) définissent sur E une structure prétopologique et l’espace (E,is(.),as(.)) obtenu est de type V.

Preuve : immédiate, il suffit d’appliquer les définitions.

La prétopologie définie par as et is sur E est appelée prétopologie forte associée à la famille (Ri). Posons également:

Image11

alors :

Proposition 2.2.2

aw(.) et iw(.) définissent sur E une structure prétopologique et l’espace (E,iw(.),aw(.)) obtenu est de type VD.

Preuve : immédiate, il suffit d’appliquer les définitions.

La prétopologie définie par aw(.) et iw(.) sur E est appelée prétopologie faible associée à la famille (Ri).

Exemple

Soit E ={0,1,2,3,4,5,6,7}, on considère sur E les trois relations R1, R2 et R3 décrites par les figures suivantes (figures 1, 2 et 3)

Image12

Figure 1 : graphe de la relation 1

Image13

Figure 2 : graphe de la relation 2

Image14

Figure 3 : graphe de la relation 3

Soit A = {5}, alors :

as(A) ={2,4,5},

aw(A) ={2,3,4,5,7}.

Soit A = {0,4,6}, alors :

as(A)={0,1,3,4,5,6}, is(A)=Ø.

aw(A)=E, iw(A)=Ø.

Comme en topologie, il est possible de définir les concepts d'ensembles ouverts et fermés, de fermeture et d'ouverture. Egalement, d'autres fonctions de transformations d'ensembles sont définissables : dérivée, cohérence, semi-frontière intérieure ou bord, semi-frontière extérieure ou orle, frontière, extérieur. Nous verrons dans le paragraphe suivant l'intérêt d'une de ces fonctions.

Enfin, le gros avantage de la prétopologie, par rapport à la théorie des graphes, est qu'elle propose différentes notions de connexité "topologique" en total accord avec le diverses notions de connexité dans les graphes, rendant ainsi possible une analyse "topologique" d'un graphe de manière particulière et de la structure engendrée par une famille de graphes en toute généralité.

Paramètres de structure

Dans ce paragraphe, nous considérons soit l'espace prétopologique faible, soit l'espace prétopologique fort défini à partir d'une famille de relations binaires réflexives sur E. Nous allons nous intéresser à généraliser divers paramètres de structure qui sont définis dans le cadre de la théorie des graphes au cadre prétopologique. Nous ne préciserons plus par la suite prétopologie forte ou prétopologie faible dans la mesure où les définitions proposées sont applicables à l'une ou l'autre indifféremment.

Rapports d’adhérence et rapport d’intérieur

Définition 3.1.1

Etant donnée un espace prétopologique (E, (.)i,a(.)), pour toute partie A non vide de E, on appelle :

a(A)

- rapport d'adhérence de A la quantité, notée Ra(A), définie par,
Image15

- rapport d'intérieur de A la quantité, notée Ri(A), définie par
Image16

On peut alors noter que ces deux rapports vérifient les propriétés suivantes.

Proposition 3.1.2

Etant donné un espace prétopologique (E,i(.),a(.)),

(i) Image17

(ii) A partie fermée de E est équivalent à Ra(A) =1

(iii) Image18

(iv) A partie ouverte de E est équivalent à Ri(A) =1

La preuve découle des définitions de a(.) et de i(.) en ce qui concerne (i) et (iii). En ce qui concerne (ii) et (iv), on doit simplement noter que A est une partie fermée de E si et seulement si A =a(A) et que A est une partie ouverte de E si et seulement si i(A) =A.

Remarque : Ces rapports d'intérieur et d'adhérence ont, dans le cas d'un espace prétopologique, le rôle joué par les degrés d'un sommet dans le cas d'un graphe. Ils mesurent les capacités d'émission et de réception d'une partie A de E par rapport à son complémentaire. De fait, le diagramme ci-dessous (fig. 4) illustre, pour une partie A donnée, comment se situent son rapport d'adhérence et son rapport d'intérieur.

Image19

Figure 4 : espace de représentation des rapports d'adhérence et d'intérieur

Les quatre coins, numérotés de 1 à 4 correspondent à des situations très particulières pour la partie A de E, en matière d'émission et/ou de réception d'influence.

Si l’on reprend l’ensemble A, A = {0,4,6}, de l’exemple précédent, nous avons :

as(A)={0,1,3,4,5,6}, is(A)=Ø.

aw(A)=E, iw(A)= Ø.

Ce qui donne

Image20

Coefficient de regroupement

En théorie des graphes, on définit, pour tout sommet, son coefficient de regroupement qui est une mesure de l'intensité des liaisons entre les voisins du sommet. Sa définition, dans le cas d'un graphe non orienté, est la suivante (cf. [13]) :

Définition 3.2.1

Pour tout sommet u d'un graphe non orienté, le coefficient C(u) de regroupement de ce sommet est défini par :

Image21

où nl(u) est le nombre de liens entre les voisins de u et d(u) son degré.

Considérons un sous-ensemble A de E et a(A)-A. Ce sous ensemble constitue l’ensemble des « voisins » de A, au sens utilisé dans la théorie des graphes. Pour la prétopologie, il s’agit de l’orle de A, c'est à dire que si on note o(A) l'orle : o(A) =a(A)-A. Considérons donc o(A) et calculons Ri(o(A)). Si le résultat obtenu est proche de 1, cela signifie que o(A) diffuse peu à son complémentaire. Par conséquent, s’il y a diffusion des points de o(A), elle se fait en interne et on a une bonne densité relationnelle de o(A). Cependant, nous ne sommes pas renseignés pour autant sur le degré de diffusion de ses points.

Calculons donc ds(c(o(A))) défini par :

Image22

Si ce coefficient ds(c(o(A))) prend une valeur proche de 0, on a donc peu de points isolés dans o(A)). Par conséquent, si simultanément ds(c(o(A))) est proche de 0 et Ri(o(A)) est proche de 1, nous sommes face à une situation où la diffusion de o(A) est importante et se fait en interne puisqu’il n’y a pas ou peu de points isolés. Cela traduit une forte densité relationnelle entre « voisins » de A (pour conserver cette terminologie). Le couple (ds(A), Ri(A)) permet donc de caractériser la densité relationnelle.

Coefficient de corrélation et fonction d’assortativité

Concernant les graphes non orientés, deux autres paramètres sont utilisés pour les caractériser : ce sont le degré de corrélation d’un sommet et la fonction d’assortativité. Le degré de corrélation d’un sommet i est défini par

Image23

où ki désigne le degré du sommet i et V(i) désigne l’ensemble des voisins du sommet i, c’est à dire l’ensemble des sommets j tels que {(i, j)} est une arête du graphe. La fonction d’assortativité est alors définie par :

Image24

où Nk désigne le nombre de sommets du graphe de degré k.

Posons :

ki/ ki =k

Définition 3.3.1

Pour tout élément x d'un espace prétopologique (E,i(.),a(.)) fini, le coefficient dc(x) de corrélation de x est défini par :

Image25

Ce paramètre généralise directement le coefficient de corrélation d'un sommet défini dans le cas des graphes. Il mesure l'intensité des liaisons, décrites par la fonction d'adhérence, entre les voisins de x, c'est à dire les éléments de l'adhérence du singleton x. Plus les points y de l'adhérence de x ont de nombreux points adhérents, plus dc(x) est important, et inversement.

La fonction d'assortativité se généralise alors de la manière suivante :

Définition 3.3.2

Image26

où Nk désigne le nombre d'éléments x de E tels que

Image27

Considérons l’exemple suivant où les prétopologies faibles et fortes sont définies à partir de trois relations binaires décrites dans le tableau ci-dessous.

Tableau 1 : données de trois relations sur E

sommet x

1(x)

2(x)

3(x)

0

0,3,6

0,3,6,7

0,4

1

0,1,7

0,1,4

1,4,7

2

1,2,5

1,2,5

2,4,5

3

3,4

1,3,6

0,3,5

4

3,4,5,7

3,4,5,7

1,4,5

5

0,1,2,5

0,2,5

4,5

6

4,6

3,4,6

1,3,6,7

7

2,5,7

2,4,5,7

0,4,7

Le calcul des coefficients dc(x), pour x élément de E donne alors (cf. tableau 2) :

Tableau 2 : coefficients dc

sommet x

dc(x) –prétopologie faible

dc(x) – prétopologie forte

0

3,00

1,00

1

3,83

1,00

2

3,33

1,00

3

4,00

1,00

4

3,88

1,00

5

4,00

0,67

6

3,00

1,00

7

4,40

1,00

On en déduit la fonction d’assortativité, représentée par le diagramme ci-dessous (cf. figure 5)

Image28

Figure 5 : fonctions d’assortativité

Coefficient de centralité (valeurs propres)

La théorie des graphes propose le coefficient de centralité pour mesurer l'influence d'un noeud dans un graphe. Celui-ci se construit à partir de la matrice d'adjacence A du graphe, il peut se définir par la relation

Image29

désigne la plus grande valeur propre de la matrice A. dans ce cas ce(x) est donné par la xième composante du vecteur propre associé à cette valeur propre. Considérons la matrice A défini par son terme général

Image30

Soit la plus grande valeur propre de cette matrice, on peut alors généraliser le coefficient de centralité en posant, de manière analogue à ce qui est fait en théorie des graphes :

Définition 3.4.1

Image31

ce(x) étant également donné par la xième composante du vecteur propre associé à cette valeur propre. De fait, cela revient à définir un graphe via la relation binaire définie par :

Image32

et à utiliser la définition posée dans les graphes, dans le cas cependant où il s’agit de graphes orientés.

Reprenons l’exemple précédent, les deux matrices As et Aw correspondant respectivement aux prétopologies fortes et faibles sont données par (cf. tableau 3) :

Tableau 3 : matrices des prétopologies

Image33

Image34

Les résultats obtenus sont consignés ci-dessous.

Prétopologie forte

Valeurs propres

1  1.00000

2  1.00000

3  1.00000

4  1.00000

5  1.00000

6  1.00000

7  1.00000

8  1.00000

Vecteurs propres droit

1

2

3

4

5

6

7

8

0

-1.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

1

0.00000

-1.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

2

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

3

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

1.00000

0.00000

0.00000

4

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

5

0.00000

0.00000

1.00000

-1.00000

1.00000

0.00000

0.00000

0.00000

6

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

-1.00000

0.00000

7

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

-1.00000

Vecteurs propres gauche

1

2

3

4

5

6

7

8

0

-1.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

1

0.00000

-1.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

2

0.00000

0.00000

-0.70711

0.00000

1.00000

0.00000

0.00000

0.00000

3

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

1.00000

0.00000

0.00000

4

0.00000

0.00000

-0.70711

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

5

0.00000

0.00000

1.00000

-1.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

6

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

-1.00000

0.00000

7

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

-1.00000

Prétopologie faible

Valeurs propres – partie réelle

1  4.88456

2  1.56955

3  0.70839

4  -0.08697

5  -0.24111

6  0.54416

7  0.00000

8  0.00000

Valeurs propres – partie imaginaire

1  0.00000

2  0.00000

3  1.14239

4  0.73665

5  0.00000

6  0.00000

7  0.00000

8  0.00000

Vecteurs propres droit – partie réelle

1

2

3

4

5

6

7

8

0

-0.66275

0.19102

-0.18149

0.88612

0.19680

-0.78209

0.00000

0.00000

1

-0.72275

0.34866

-0.35456

0.05734

-0.32567

-0.15540

0.00000

0.00000

2

-0.34658

0.91423

0.29319

0.56957

-0.54138

-0.40730

0.00000

0.00000

3

-0.50546

-0.76056

0.14707

-0.59932

-0.59049

0.32625

0.00000

0.00000

4

-1.00000

0.37581

-0.10683

-0.00246

0.21885

-0.36662

0.00000

0.00000

5

-0.65478

0.66910

0.27886

0.11877

1.00000

-0.48149

0.00000

0.00000

6

-0.30073

-1.00000

0.22845

-0.16888

0.31721

1.00000

0.00000

0.00000

7

-0.69151

-0.14840

-0.30898

-0.62387

-0.32809

0.66716

0.00000

0.00000

Vecteurs propres droit – partie imaginaire

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0.00000

0.00000

0.25433

0.11388

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

1

0.00000

0.00000

-0.64544

0.02715

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

2

0.00000

0.00000

-0.04847

-0.15476

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

3

0.00000

0.00000

0.01487

-0.08597

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

4

0.00000

0.00000

-0.06248

-0.32179

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

5

0.00000

0.00000

-0.09258

0.71538

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

6

0.00000

0.00000

-0.02818

-0.14013

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

7

0.00000

0.00000

0.44165

-0.12758

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

Vecteurs propres gauche – partie réelle

1

2

3

4

5

6

7

8

0

-0.87640

-0.77216

0.26000

0.33456

-0.23923

-0.28981

0.00000

0.00000

1

-0.063186

0.05657

0.43695

0.12076

-0.39835

0.41205

0.00000

0.00000

2

-0.56167

0.78442

-0.52559

0.20736

-0.71120

0.58811

0.00000

0.00000

3

-1.00000

-1.00000

-0.44601

-0.24076

-0.58742

-0.96987

0.00000

0.00000

4

-0.80888

0.09774

-0.10982

-0.26661

1.00000

-0.73566

0.00000

0.00000

5

-0.74109

0.29246

-0.24891

-0.10525

0.28103

0.05553

0.00000

0.00000

6

-0.82633

-0.24415

-0.20136

0.31182

0.42070

1.00000

0.00000

0.00000

7

-0.76921

0.70664

0.36563

-0.02520

-0.26637

0.83764

0.00000

0.00000

Vecteurs propres gauche – partie imaginaire

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0.00000

0.00000

-0.27639

0.19400

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

1

0.00000

0.00000

0.56305

0.23623

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

2

0.00000

0.00000

-0.06569

-0.03490

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

3

0.00000

0.00000

0.00595

0.018133

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

4

0.00000

0.00000

0.06621

-0.73339

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

5

0.00000

0.00000

-0.00967

0.38235

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

6

0.00000

0.00000

0.16459

-0.09893

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

7

0.00000

0.00000

-0.45318

0.19367

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

Conclusion

On le voit, par l’intermédiaire de la prétopologie, il est possible de procéder à une analyse structurelle d’un ensemble fin muni, non pas d’une seule relation binaire, mais d’une famille finie de relations binaires. Dans le cadre de cette analyse, on peut généraliser la définition d’ indicateurs utilisés en théorie des graphes. Nous en avons proposé quelques-uns ici, mais, l’objectif est d’élargir cette généralisation de manière à disposer d’une batterie d’indicateurs au moins aussi importante qu’en théorie des graphes.

Par ailleurs, un prolongement de ce travail est en cours, visant à pouvoir travailler de la même manière à partir des graphes aléatoires. Il s’agit de définir le concept de prétopologie stochastique. Les premiers résultats ont été obtenus dans un travail de thèse récent (cf. [4]) et des applications dans un autre contexte ont été également développées.

Enfin, la prétopologie, telle que nous l’avons construite dans ce travail à partir d’une famille de relations binaires, se révèle un outil de modélisation très utile dans le cadre des systèmes multi-agents pour gérer les accointances entre agents et être capable de suivre la dynamique des relations entre eux. Les algorithmes développés dans le cadre de la librairie PRETOPOLIB permettent d’implémenter au sein d’un système multi-agents les fonctions et calculs de paramètres explicités ci-dessus.

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Pour citer ce document

Cynthia Basileu, Nadia Kabachi et Michel Lamure, «Structuration prétopologique d’un ensemble à partir d’une famille de graphe», Intelligences Journal [En ligne], Numéros en texte intégral , Numéro 2 , URL : http://lodel.irevues.inist.fr/isj/index.php?id=249

Auteurs

Cynthia Basileu
Université Lyon 1, UFR d'Odontologie, 11 rue Guillaume Paradin, 69372 Lyon Cedex 08, France
Nadia Kabachi
Université Lyon 1, Bât. Nautibus, 43 Bd du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex, France
Michel Lamure
Université Lyon 1, UFR d'Odontologie, 11 rue Guillaume Paradin, 69372 Lyon Cedex 08, France